1/ Chứng minh: \(\left(x+y+1\right)^2\ge3\left(xy+y+x\right)\)
----------------------------Câu hỏi sẽ liên tục cập nhật mỗi khi có câu trả lời. Khi trả lời bạn hãy ghi câu mấy để mọi người dễ nhìn nhé--------------------------
Góc trả lời bài: Lần sau các em hỏi bài thì nên đăng câu hỏi lên nhé:):
Chứng minh mọi x, y, z dương ta có:
\(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\ge2+\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Ta có: \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\left(1+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{x}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}\)
\(=2+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
Ta chứng minh bất đẳng thức :
\(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Vì x, y, z đóng vai trò như nhau nên ta chứng minh bất đẳng thức phụ:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Xét:
\(3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)=\left(\frac{2x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{2y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{2z}{x}+\frac{x}{y}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{2x}{y}+\frac{y}{z}=\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{x.x.y}{y.y.z}}=3\sqrt[3]{\frac{x.x.x}{xyz}}=3\frac{x}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Tương tự như thế ta có:
\(3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\ge3.\frac{x}{\sqrt[3]{xyz}}+3\frac{y}{\sqrt[3]{xyz}}+3\frac{z}{\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Như vậy:
\(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
=> \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\ge2+\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Dấu "=" khi x=y=z
Câu hỏi của Incursion_03 - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
https://olm.vn/hoi-dap/detail/221691630609.html giúp em với ạ. Thanks.
*1 câu trả lời hay sẽ được tặng 1-2GP/câu trả lời, 3 CTV tổ chức và giáo viên sẽ đánh giá từng câu trả lời.
[Toán.C986-990 _ 9.5.2021]
Các bạn hãy trình bày ngắn gọn lời giải của câu 12-17 nhé! Nhớ mỗi câu trả lời chỉ trả lời cho 1 câu hỏi, để chúng mình đánh giá từng câu trả lời một nha!
Fanpage: Cuộc thi Trí tuệ VICE | Facebook
Câu 17 :
- Ta có : AD là đường phân giác của tam giác ABC .\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{AC}{CD}\)
- Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :\(\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{12}{BD}=\dfrac{16}{CD}\)
\(=\dfrac{12+16}{BD+CD}=\dfrac{28}{14}=2=\dfrac{16-12}{CD-BD}\)
\(\Rightarrow CD-BD=\dfrac{4}{2}=2\)
- Đáp án C.
Câu 16 :
- Ta có : \(\widehat{COB}=2\widehat{BAC}=120^o\)
- Ta lại có : \(S=S_{\stackrel\frown{BC}}-S_{OBC}=\dfrac{\pi R^2.120}{360}-\dfrac{1}{2}R.R.Sin120=\dfrac{\pi R^2}{3}-\dfrac{R^2\sqrt{3}}{4}\)
\(=\dfrac{R^2\left(4\pi-3\sqrt{3}\right)}{12}\) ( đvdt )
Đáp án D
Câu 15 :
- Ta có : Tam giác ABC đều và AH là đường cao .
=> \(\widehat{A_1}=\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}=30^o\)
Mà \(\widehat{O_1}=2\widehat{A_1}\)
\(\Rightarrow\widehat{O_1}=60^o\)
- Áp dụng tỉ số lượng giác vào tam giác BOH vuông tại H .
\(\sin\widehat{O_1}=\dfrac{BH}{OB}=\dfrac{BH}{R}=Sin60=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow R=\dfrac{2}{\sqrt{3}}BH\)
Mà H là trung điểm BC => \(BH=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a}{2}\)
\(\Rightarrow R=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)
Đáp án B
#Thách đấu: Tìm lời giải trong 2 dòng (bao gồm phần xét dấu đẳng thức:)
Chứng minh BĐT sau đây:\(a^4+3a^2b^2+3a^2+b^4+3b^2+3c^2\ge2a^3b+2ab^3+2\left(ab+bc+ca\right)\)
---------------------------------------Mỗi khi có lời giải nào đó, câu hỏi sẽ tiếp tục cập nhật những thông tin mới nhất:v---------------------------------------------------------
2 dòng thì chịu :V
Ta co:\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Ta bien doi tuong duong BDT:
\(a^4+b^4+a^2+b^2+c^2+3a^2b^2-2a^3b-2ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)^2-2ab\left(a^2+b^2\right)+a^2b^2+a^2+b^2+c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2-ab\right)^2+a^2+b^2+c^2\ge0\left(True\right)\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=0\)
\(VT\ge\left(a^4+a^2b^2\right)+\left(b^4+a^2b^2\right)+2\left(ab+bc+ca\right)\)\(+a^2b^2\ge2ab^3+2a^3b+2\left(ab+bc+ca\right)\)
Dấu ''='' xảy ra tại a=b=c=0
Ở bài này dùng \(x^2+y^2\ge2\left|xy\right|\ge2xy\)không chắc lắm
Các bạn làm nhanh lên nhé mình đang rất vội và đừng quên trả lời từng bước nhé ! (Phần 2)
Câu 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
A) \(a=3\times\left|1-2x\right|-5\)
B) \(b=\left(2x^2+1\right)^4-3\)
C)\(c=\left|x-\dfrac{1}{2}\right|+\left(y+2\right)^2\)
Câu 2)
A) 5 mét dât đồng nặng 47g.Hỏi 10km dây đồng nặng bao nhiêu g ?
B) Một tạ nước biển chứa 2,5kg muối.Hỏi 300g nước biển chứa bao nhiêu kg ?
Câu 3)
Câu 2:
a: 10km=10000m
10000m dây đồng có cân nặng là:
\(47:5\cdot10000=94000\left(g\right)\)
b: 300g=0,3kg=0,003 tạ
0,003 tạ nặng:
\(2,5:1\cdot0,003=\dfrac{3}{400}\left(kg\right)\)
Câu 1:
a:
\(\left|1-2x\right|>=0\forall x\)
=>\(3\left|1-2x\right|>=0\forall x\)
=>\(3\left|1-2x\right|-5>=-5\forall x\)
=>\(A>=-5\forall x\)
Dấu '=' xảy ra khi 1-2x=0
=>2x=1
=>x=1/2
Vậy: \(A_{Min}=-5\) khi x=1/2
b: \(2x^2>=0\forall x\)
=>\(2x^2+1>=1\forall x\)
=>\(\left(2x^2+1\right)^4>=1^4=1\forall x\)
=>\(\left(2x^2+1\right)^4-3>=1-3=-2\forall x\)
=>B>=-2\(\forall\)x
Dấu '=' xảy ra khi x=0
c: \(\left|x-\dfrac{1}{2}\right|>=0\forall x\)
\(\left(y+2\right)^2>=0\forall y\)
Do đó: \(\left|x-\dfrac{1}{2}\right|+\left(y+2\right)^2>=0\forall x,y\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{2}=0\\y+2=0\end{matrix}\right.\)
=>x=1/2 và y=-2
Mình sẽ mở một thi Tiếng việt nâng cao:
Cuộc thi có 30 vòng. Từ các vòng nhỏ thì câu hỏi sẽ dễ hơn các vòng cao.
Lưu ý: Khi trả lời họ và tên phải đầy đủ, để khi công bố kết quả còn biết tên để thông báo. Nếu nick nào đặt ko tên thì khi trả lời sẽ ghi tên của mình vào nhé!
Thi mình sẽ chọn 3 bạn nhanh có kết quả chính sác, nếu các bạn nhanh nhưng trả lời sai thì người bạn trả lời sau trả lời đúng thì bạn ấy lại đc giải nhé!
Nên các bạn khi trả lời phải suy nghĩ cho thật kĩ thì nghi kết quả nhé!!
Chúc các bạn thi tốt.
Ủa thế thi kiểu j bạn ơi
à mình ra câu hỏi rồi
1. Chứng minh rằng mọi hàm \(f:ℝ\rightarrowℝ\) thỏa mãn \(f\left(xy+x+y\right)=f\left(xy\right)+f\left(x\right)+f\left(y\right),\forall x,y\inℝ\)
2. Xác định tất cả các hàm số \(f\) liên tục trên \(ℝ\) thỏa mãn điều kiện \(f\left(2x-y\right)=2f\left(x\right)-f\left(y\right),\forall x,y\inℝ\)
a) một bài thi trắc nghiệm có 10 câu , mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó có 1 phương án đúng . 1 học sinh không thuộc bài nên mỗi câu đều chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời . tính xác suất để học sinh đó trả lời đúng cả 10 câu .
b) tìm số hạng không chứa x trong khai triển \(\left(x^2+\frac{1}{x^4}\right)^{12}\) .
a) một bài thi trắc nghiệm có 10 câu , mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó có 1 phương án đúng . 1 học sinh không thuộc bài nên mỗi câu đều chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời . tính xác suất để học sinh đó trả lời đúng cả 10 câu .
b) tìm số hạng không chứa x trong khai triển \(\left(x^2;\frac{1}{x^4}\right)^{12}\)